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Texte à méditer :  Soyez philosophe ; mais, au milieu de toute votre philosophie, soyez toujours un homme.
  
Hume
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Cours sur vérité et démonstration
Toute vérité est-elle démontrable ? (La vérité, La démonstration)
 
Introduction
 
    Dans la langue courante, on qualifie de "vrais" ou de "faux" aussi bien des énoncés que des choses, des événements, des situations, etc. Dans tous les cas, ces qualifications renvoient aux idées de concordance et de non-concordance, d'adéquation et de non-adéquation, de conformité et de non-conformité. Mais peut-on qualifier une chose de vraie (ou de fausse) comme on l'affirme d'un énoncé ? Dire de perles, par exemple, qu'elles sont fausses, cela veut dire que ce ne sont pas de "vraies" perles, mais qu'au contraire, ce sont des imitations. Mais ce qui est vrai (ou faux) alors, c'est le jugement porté sur l'objet, la proposition ("ce sont des perles"), non l'objet lui-même. Il ne faut donc pas confondre vérité et réalité : les objets ne sont ni vrais ni faux, ils sont. Aussi, à proprement parler, seul un énoncé, un jugement, une idée, peut être vrai ou faux.
 
→ Cf. texte de Spinoza, Pensées métaphysiques, 1ère partie, Chapitre 6.
 
 C'est ce que supposait déjà la définition traditionnelle de la vérité : "Veritas est adaequatio rei et intellectus[1]" (= "La vérité est l'adéquation de la chose et de l'intelligence"). Cela signifie qu'il doit exister un rapport entre ce que nous concevons et la réalité, mais quel est ce rapport ? Ce n'est pas un rapport d'identité car, à l'évidence, les mots que comprend une proposition vraie ne sont pas les choses. C'est bien plus un rapport de représentation. Il y a vérité lorsque ce que je pense correspond, est en accord avec la réalité. Comme l'écrit Aristote :
 
"Quand donc y a-t-il ou n'y a-t-il pas ce qu'on appelle vrai ou faux ? Il faut en effet bien examiner ce que nous entendons par là. Ce n'est pas parce que nous pensons d'une manière vraie que tu es blanc, que tu es blanc, mais c'est parce que tu es blanc, qu'en disant que tu l'es, nous disons la vérité."
 
 
 Dans son traité De l'esprit géométrique, Pascal définit :
 
les "trois principaux objets dans l'étude de la vérité : l'un de la découvrir quand on la recherche ; l'autre de la démontrer quand on la possède ; le dernier de la discerner d'avec le faux quand on l'examine".
 
Ces trois exigences laissent apparaître la problématique qui va être la nôtre. Premièrement, la vérité existe t-elle, et comment la découvrir ? Deuxièmement, peut-on prouver la vérité ? Et enfin troisièmement, quels sont les critères du vrai ?
 
Exercice introductif : Vrai ou faux ?
 
 
 Pour chacune des propositions énoncées, dites si elle est vraie ou fausse, et pourquoi.
 
  1. Le tableau est vert.
 
  1. Si x = 2, et si y = 4, alors x + y = 6.
 
  1. Seuls les chats ont quatre pattes. Or, mon chien a quatre pattes, donc mon chien est un chat.
 
  1. Il existe au moins une cellule haploïde qui est hétérozygote.
 
  1. Le Père Noël apporte des cadeaux uniquement aux enfants sages.
 
  1. Le soleil se lèvera demain.
 
  1. Il faut toujours dire la vérité.
 
 
I.                   Vérité (ou savoir) et opinions
 
1.      Y a t-il une ou plusieurs vérités ?
 
 Imaginons que l'on me montre un stylo et que l'on me demande quelle est sa couleur. En toute bonne conscience, je pourrai par exemple répondre que ce stylo est jaune et rouge. Il s'agit là pour moi d'une vérité indubitable, puisque je vois effectivement ce stylo comme composé de jaune et de rouge. Pourtant, si je montre ce même stylo à une personne atteinte de daltonisme, elle ne dira pas que ce stylo est jaune et rouge, étant donné qu'elle ne distingue pas le rouge du vert. Pour cette personne, le stylo pourra tout aussi bien être jaune et vert. À qui dès lors donner raison ? Ne sommes-nous pas tous deux aussi convaincus de la couleur de l'objet que l'on nous présente ? Il est aussi vrai que ce stylo est jaune et rouge pour moi, qu'il est vrai qu'il est vert et rouge pour l'autre, si bien que le degré de certitude, et donc de vérité de l'une ou l'autre des affirmations paraît le même. Il semble par conséquent que la vérité d'un jugement soit fonction de la personne qui l'énonce.
 
 Ainsi, les sophistes, Protagoras en tête, partent du principe que l'homme est la mesure de toute chose. Que veulent-ils dire ? Que l'opinion est la mesure de toute connaissance, et que la vérité est relative aux croyances de chacun. Plus une idée réussit à emporter l'adhésion des esprits, plus elle est vraie. Personne ne peut donc prétendre que ce qu'il pense est vrai pour tout esprit de façon absolue.
 
Pour Protagoras en effet :
 
"[…] telle une chose m'apparaît, telle elle est pour moi, telle une chose t'apparaît à toi, telle elle est aussi pour toi[3]".
 
Il n'y a donc pas de vérité absolue en ce sens qu'aucune chose de peut être atteinte dans son être, mais seulement dans son apparaître, c'est-à-dire dans le rapport qu'elle entretient avec moi. Ce que je considère comme vrai est donc lié à la façon dont il se présente à moi, et qui fait naître en moi une conviction.
 
 
Repères : Absolu / relatif
 L'absolu (lat. absolutus, de ab, et solutus, délié = parfait, souverain) c'est ce qui, dans la pensée comme dans la réalité, ne dépend de rien d'autre que de soi et contient en soi-même sa raison d'être.
 Le relatif, c'est ce qui est susceptible d'être mis en relation, ou en rapport, avec d'autres choses.
 
1er Problème : si la vérité se réduit à la conviction personnelle de celui qui la possède, alors toutes les opinions seront également vraies (tout le monde aura raison). Or, si une opinion quelconque est aussi vraie que l'opinion qui la contredit, la distinction entre le vrai et le faux disparaît, et l'idée même de vérité perd toute signification. C'est à cela que conduit le relativisme (l'idée selon laquelle la vérité est relative à chacun) des sophistes. Il mène à l'indifférence : tout est égal.
2e problème : celui qui soutiendrait que la conception de Protagoras est vraie aurait autant raison que celui qui soutiendrait qu'elle est fausse. Or, il y a là contradiction, car cette conception ne peut être à la fois vraie et fausse (cf. plus bas, le principe de contradiction en logique).
 
 Socrate, puis Platon, vont donc s'opposer à cette conception qui confond selon eux l'être des choses et leur apparaître.
® nécessité de distinguer l'être et le paraître
 
 Pour Platon, il existe non pas une multiplicité d'opinions vraies, mais un seul savoir, une seule science véritable. Croire et savoir sont donc deux choses distinctes. C'est ainsi qu'il fait dire à Socrate :
 
"Savoir et croire, est-ce la même chose, à ton avis, ou bien la science et la croyance sont-elles distinctes?"
 
 
Repères : croire / savoir
Au sens large, croire c'est tenir pour vraie une affirmation quelconque. Cet assentiment est susceptible de divers degrés d'assurance, depuis la croyance vague jusqu'à la certitude absolue. Moins l'évidence rationnelle est claire, plus la volonté doit venir en appui de l'intellect pour donner l'assentiment qui constitue la croyance.
Dans un premier temps, on peut considérer qu'il n'y a pas de différence de nature entre le savoir et la croyance, mais simplement une différence de degré. On peut ainsi dire que le savoir est un type particulier de croyance : celle qui se fonde sur une évidence claire et distincte (ou une démonstration infaillible) et ne peut faire l'objet d'aucun doute.
Dans un second temps, on peut distinguer nettement savoir et croyance. Alors que la simple croyance est une attitude d'adhésion et d'affirmation, qui ne dispose pas de preuve pour établir la réalité ou la vérité de ce qu'elle affirme, le savoir, lui, repose sur une preuve. De plus, là où la croyance peut être fausse, le savoir lui est nécessairement vrai.
La distinction entre croire et savoir est alors entre ce dans quoi une vérité semble accessible et ce dans quoi aucune certitude ne paraît accessible. Dans les sciences, il y a du savoir, alors qu'en amour, il n'y a que de la croyance, aussi intense puisse t-elle être.
 
Pour prouver cette distinction, Platon se contentait de rappeler qu'il existe des croyances fausses et des croyances vraies, mais qu'il ne saurait y avoir une science fausse et une science vraie (le savoir est nécessairement vrai, car si ce que je "sais" est faux, alors c'est qu'en fait je ne sais rien). Cependant, constatait-il, "la persuasion est égale chez ceux qui savent et chez ceux qui croient"[5].
 
 À propos de toute chose, la connaissance doit pour Platon saisir une vérité unique et objective. C'est parce que le réel sensible est constitué d'apparences, qu'il est source d'erreurs et d'illusions (cf. "Allégorie de la caverne"in Livre VII de La République). La vérité est à chercher au-delà, dans l'Être véritable, "intelligible", c'est-à-dire accessible à l'intelligence seule.
 L'accès au monde intelligible est chez Platon le résultat d'un effort de la raison. D'une part, en effet, l'idée d'un monde intelligible est chez lui le produit d'une réflexion sur la nécessaire universalité et immutabilité du vrai. Une vérité qui change selon les points de vue ou avec le temps mérite t-elle encore de s'appeler vérité ? D'autre part, se déprendre des apparences, comme le prisonnier qu'on délivre et qui se tourne pour la première fois vers les réalités véritables, c'est se délivrer de l'opinion (la doxa), c'est-à-dire de cet état d'esprit qui affirme ou qui nie avant d'avoir jugé (tel est, au sens propre, le pré-jugé) ou qui ne juge que sur les apparences ou en fonction des besoins. Tout consiste donc d'abord, si l'on suit la démarche pascalienne à "découvrir" (et donc à chercher) la vérité, par delà les opinions fausses.
 
Opinions = ce que je crois vrai (multiples)                  ≠          Vérité = ce qui est vrai (unique)
 
2.      L'exercice du doute dans la recherche de la vérité
 
 La grande leçon philosophique des premiers dialogues de Platon, à l'occasion desquels Socrate embarrasse ses interlocuteurs dans leurs contradictions, est d'être une "purge" des opinions, une façon de dénoncer leur fausse objectivité. Savoir qu'on ne sait rien – ce que Socrate disait lui-même – est la condition première de la recherche de la vérité.
 
L'opinion s'oppose dans son essence à la vérité (ou au savoir).
 
→ Cf. texte de Bachelard, La formation de l'esprit scientifique, Ed. Vrin, Chapitre premier, §. I
 
 La vérité ne peut résulter que de l'examen critique des opinions : en effet, il importe au plus haut point au philosophe comme au savant de ne pas confondre ce qui est vrai de ce qu'il croit vrai. Or, il est difficile d'éviter cette confusion dans la mesure où le vraisemblable est parfois un faux ressemblant au vrai, comme un faux billet qui présente tous les signes extérieurs d'un vrai[6]. Rien n'est plus proche du vrai que le vraisemblable, rien n'en est aussi plus éloigné. C'est pourquoi, selon Descartes, on ne peut considérer une idée vraie que si, à son propos, le doute est impossible. Ne devra être admis pour vrai par l'esprit que ce qui est indubitable, c'est-à-dire ce dont l'esprit ne pourra pas douter.
 Mais pour savoir de quelles idées on ne peut pas douter, il faut au préalable les avoir soumises au doute. Nous avons en effet tous eu l'expérience, à l'instar de Descartes, d'opinions tenues pour vraies qui se sont par la suite révélées fausses. C'est ce qui conduit Descartes à rejeter de sa "créance", c'est-à-dire de ce qu'il croit vrai, toutes les opinions :
 
"Que pour examiner la vérité il est besoin, une fois en sa vie, de mettre toutes choses en doute, autant qu'il se peut"[7].
 
® entreprise systématique de doute à l'égard des opinions.
Si elles sont un tant soit peu douteuses, elles seront considérées comme si elles étaient fausses :
 
"Il sera même fort utile que nous rejetions comme fausses toutes celles où nous pourrons imaginer le moindre doute, afin que, si nous en découvrons quelques unes qui, nonobstant cette précaution, nous semblent manifestement vraies, nous fassions état qu'elles sont aussi très certaines, et les plus aisées qu'il est possible de connaître".
 
Alors que, dans la vie courante, nous prenons bien souvent pour vrai ce qui n'est que probable, il faut, écrit Descartes, prendre pour règle de considérer comme faux tout ce qui n'est pas absolument certain. Car si une idée résiste au doute malgré tous nos efforts, alors nous pourrons la recevoir comme une vérité absolument certaine.
 
→ Cf. texte du Discours de la méthode (1637), Quatrième partie
 
 C'est cette démarche qui conduit Descartes à affirmer que, lorsque je pense, ma conscience d'être celui qui pense constitue une première vérité, car plus je la mets en doute, plus je confirme par-là que je suis en train de penser et de douter.
→ mon existence devient la première des vérités, le "premier principe de la philosophie" = "je pense donc je suis".
 
Question : toutefois, peut-on réellement douter de tout ?
 
 D'après Poincaré, "Douter de tout ou tout croire, ce sont deux solutions également commodes, qui l'une et l'autre nous dispensent de réfléchir"[8].
 
→ Cf. texte de Wittgenstein, De la certitude, 1951, trad. J. Fauve, Gallimard, coll. tel.
 
Ex. : "Lorsque je procède à une expérimentation, je ne doute pas de l'existence de l'appareillage que j'ai sous les yeux ; j'ai une masse de doutes, mais non celui-là"[9].
 
Déjà Pascal écrivait :
 
"En parlant de bonne foi et sincèrement, on ne peut douter des principes naturels… Je mets en fait qu'il n'y a jamais eu de pyrrhonien effectif parfait. La nature soutient la raison impuissante et l'empêche d'extravaguer jusqu'à ce point… Nous avons une idée de la vérité invincible à tout le pyrrhonisme"[10].
 
Ou encore :
 
"Nous connaissons la vérité, non seulement par la raison, mais encore par le cœur ; c’est de cette dernière sorte que nous connaissons les premiers principes, et c’est en vain que le raisonnement, qui n’y a point de part, essaye de les combattre. Les pyrrhoniens, qui n’ont que cela pour objet, y travaillent inutilement. Nous savons que nous ne rêvons point ; quelque impuissance où nous soyons de le prouver par la raison, cette impuissance ne conclut autre chose que la faiblesse de notre raison, mais non pas l’incertitude de toutes nos connaissances, comme ils le prétendent"
 
 
Autrement dit, il existe des premiers principes, des connaissances du cœur, qui ne sont certes pas des connaissances discursives, mais qui, pour autant, sont des connaissances, et, de plus, des connaissances qui fondent les connaissances discursives : je ne peux pas définir ce que je veux dire lorsque je dis : "je suis éveillé", et pourtant je suis sûr d'être éveillé, et heureusement, car dans le cas contraire, comme le dit Wittgenstein, aucun de mes discours n'aurait de sens, tant il est vrai que le propre du "discours" onirique est d'être quelque peu… décousu.
 
II.                Comment savoir si ce que je pense est vrai ?
 
Si pour atteindre la vérité, il faut critiquer les opinions, alors la question se pose de savoir comment faire la différence entre une opinion fausse et une vérité. Autrement dit, il nous faut posséder un critère de la vérité, c'est-à-dire quelque chose qui nous permette de savoir qu'une idée est vraie, ou au contraire, qu'elle est fausse.
 
A.     La vérité est-elle évidente ?
 
Au XVIIe siècle, à la suite de Descartes, la plupart des philosophes font de l'évidence le critère le moins discutable de la vérité.
 
 Lors de sa démarche de doute, Descartes est parvenu, nous l'avons vu, à cette première vérité : "Je pense donc je suis". Il est impossible de remettre en cause cette vérité car plus j'essaie d'en douter, plus je la confirme ; cette vérité est indubitable (on ne peut pas en douter). Ayant ainsi rencontré une première fois l'évidence absolue, nous disposons désormais d'un modèle auquel nous pourrons comparer toutes les autres connaissances. Nous pourrons adopter l'évidence comme critère de la vérité. Pour Descartes, seules les idées qui s'imposent à l'esprit comme évidentes doivent être tenues pour vraies :
 
"Ayant remarqué qu'il n'y a rien du tout en ceci, je pense donc je suis, qui m'assure que je dis la vérité, sinon que je vois très clairement que pour penser il faut être, je jugeai que je pouvais prendre pour règle générale que les choses que nous concevons fort clairement et fort distinctement sont toutes vraies"
 
 
Et il ajoute qu' "il y a seulement quelque difficulté à bien remarquer quelles sont celles que nous concevons distinctement."
 
 
 C'est ainsi qu'il établit comme premier précepte de sa méthode :
 
"de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle : c'est-à-dire d'éviter la précipitation et la prévention et ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit que je n'eusse aucune occasion de la mettre en doute"[14].
 
Attention : l'évidence dont il s'agit n'est pas une évidence "première", celle que l'on éprouverait en présence de ce qui s'imposerait à première vue. Elle n'est pas le point de départ, mais le terme d'une longue recherche visant à éliminer toute possibilité d'erreur. Comme nous l'avons vu, son modèle est celui du Cogito, obtenu de haute lutte, celle menée tout au long de la Première Méditation contre tout risque d'erreur. L'évidence à laquelle la pensée accepte uniquement de se rendre est celle de l'indéniable, de l'indubitable.
 
 Les critères de l'évidence sont donc chez Descartes : la clarté et la distinction. C'est pourquoi l'idée vraie est toujours claire et distincte. Descartes définit la clarté et la distinction ainsi :
 
"J'appelle claire celle qui est présente et manifeste à un esprit attentif ; de même que nous disons voir assez fort, et que nos yeux sont disposés à les regarder ; et distincte, celle qui est tellement précise et différente de toutes les autres, qu'elle ne comprend en soi que ce qui paraît manifestement à celui qui la considère comme il faut."
 
 
Plus explicitement, une idée est claire quand elle n'est pas confuse en elle-même, c'est-à-dire quand je suis capable de me la représenter sans aucun problème. Par exemple, je suis capable de me représenter ce qu'est un triangle, ou un carré, ou encore une figure à 10 côtés. En revanche, je n'arrive plus à avoir une idée claire de ce qu'est une figure à 1000 côtés (un chiliogone).
Une idée est distincte quand je ne peux pas la confondre avec une autre. Par exemple, l'idée que j'ai du triangle comme étant une figure à trois côtés, est distincte de l'idée que j'ai du carré comme étant une figure à quatre côtés (dans ce cas, je ne confonds pas un triangle et un carré).
 
Même si l'évidence est la conclusion d'une démarche critique, elle doit m'apparaître "d'un seul coup" ; elle procède donc d'une véritable intuition intellectuelle. Elle est ce qui se révèle indubitablement et immédiatement vrai (c'est-à-dire sans qu'il soit besoin de le démontrer) à un esprit attentif. Une idée vraie est en ce sens, comme l'écrit Spinoza, à elle-même son propre critère ; celui qui l'a sait en même temps qu'elle est vraie, c'est pourquoi :
 
"[…] la vérité est norme d'elle-même et du faux[16]".
 
Les axiomes[17] les plus simples des mathématiques fournissent son modèle à cette conception de la vérité. Ce sont en effet des "notions communes", terme qu'utilisait Euclide pour désigner les vérités premières qui s'imposent d'elles-mêmes à l'esprit. Ainsi, des propositions comme "le tout est pour grand que la partie" ou "deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles" paraissent évidentes : ne suffit-il pas de comprendre leur sens pour savoir du même coup qu'elles sont vraies ?
 Cependant, aussi séduisant soit-il, le critère de l'évidence est-il suffisant ? L'évidence n'est-elle pas quelquefois trompeuse ?
Ainsi Popper montre que l'idée de certitude n'est qu'une idée limite, et qu'il n'existe par conséquent jamais de certitude absolue.
 
→ Cf. texte de Popper, Les deux visages du sens commun, in La connaissance objective, 1970, trad. J-J Rosat, Champs Flammarion, 1998, p. 144.
 
De même, pour Leibniz, ce critère est par trop subjectif ; la conviction d'avoir affaire à une idée claire et distincte n'offre pas de garantie suffisante.
(Cf. aussi Nietzsche : "Une croyance forte ne prouve que sa force, nullement la vérité de ce qu'elle croit"[18].)
 
B.     Vérité et logique
 
 Comme l'écrit Pascal :
 
"si l'on sait la méthode de prouver la vérité, on aura en même temps celle de la discerner, puisqu'en examinant si la preuve qu'on en donne est conforme aux règles qu'on connaît, on saura si elle est exactement démontrée[19]".
 
La démonstration apparaît dans ces lignes comme la méthode de preuve de la vérité ; méthode qui, du même coup, en est la marque ou l'index. Car la démonstration est le moment où la vérité en s'établissant se montre elle-même. Pour savoir si l'on a affaire à une vérité, il faut être capable de le démontrer. Mais qu'est-ce qu'une démonstration ? Qu'appelle t-on démontrer ?
 
Définition de la démonstration :
 
 Généralement, on appelle démonstration un "raisonnement au moyen duquel on prouve ou l'on essaie d'établir la vérité d'une proposition". Plus précisément, une démonstration est un raisonnement (c'est-à-dire un enchaînement de propositions) qui établit, d'une manière évidente et convaincante, une vérité, en montrant qu'elle dépend d'une autre vérité évidente, ou du moins déjà admise (la définition du dictionnaire Lalande est la suivante : "Une démonstration est une déduction destinée à prouver la vérité de sa conclusion en s'appuyant sur des prémisses reconnues ou admises comme vraies").
 
La démonstration est toujours circonscrite : elle est relative à certaines données, à propos desquelles un certain nombre d'hypothèses ont été préalablement formulées. Elle prend appui sur des définitions, sur des théorèmes ou sur des axiomes sans lesquels elle ne pourrait pas s'effectuer : elle n'a donc de signification qu'au sein d'un ensemble théorique très vaste, et dont les bornes sont d'autant plus difficilement assignables que l'investigation mathématique ne cesse de le renouveler.
Il est habituel de tenir la démonstration pour une certaine espèce de déduction, qui consiste non seulement à conclure, à partir d'une ou plusieurs propositions prises comme prémisses, à une conséquence nécessaire, mais à établir, d'une manière irréfutable, la vérité de celle-ci.
 
Il s'agit donc là d'une démarche discursive, laquelle s'oppose à l'intuition cartésienne. Pour Descartes en effet, la vérité apparaissait immédiatement dans son évidence, tandis que la nécessité de démontrer une vérité implique la mise en place d'un raisonnement logique, d'une démarche logique.
 
Repères : intuitif / discursif
 La distinction entre l'intuitif et le discursif peut se comprendre à partir de celle de l'analyse et de la synthèse. Une démarche intuitive consiste dans la saisie directe et synthétique d'un tout (l'objet est immédiatement et entièrement saisi par la pensée), alors qu'une démarche discursive est une construction progressive et analytique de la pensée (elle nécessite la médiation d'un langage et requiert, pour se déployer, une temporalité plus longue).
 
 
→ Cf. texte de Leibniz, Méditations sur la connaissance, La vérité et les idées.
 
 Comme nous l'avons déjà souligné plus haut, Leibniz avait affirmé que pour être rigoureuse, une connaissance doit se soucier avant tout de ses procédures de vérification et de démonstration. Les mathématiques peuvent ici à nouveau servir de modèle : pour que la conclusion d'une démonstration soit juste, il faut et il suffit que le raisonnement suivi soit formellement sans faute. La preuve de la vérité d'une démonstration, c'est, entre autres paramètres, la cohérence logique de cette démonstration elle-même, cohérence logique qui est inhérente à notre faculté de juger.
 Il faut donc bien, concernant toute proposition, savoir si elle obéit aux "lois universelles de l'entendement et de la raison", autrement dit, si elle obéit aux règles de la logique.
 
L'idée vraie suppose au contraire une démarche qui donne les moyens de parvenir à cette idée vraie. C'est pourquoi pour Leibniz est vrai ce qui peut être prouvé par des procédures logiques. Il faut donc préférer au critère de l'évidence ceux qu'élabore la logique, puisqu'ils reposent sur des procédures explicites et machinales et rendent ainsi les conclusions immanquables. De la sorte, la démonstration et le calcul apparaissent comme les véritables critères de la vérité.
 
 Pour trouver la vérité, il s'agit donc en premier lieu de savoir utiliser correctement notre faculté de penser : la raison. De même que nous pouvons apprendre à maîtriser un instrument ou un outil, nous pouvons apprendre à raisonner. Cela suppose, comme dans le cas d'un instrument, qu'il existe des règles d'usage, invariables, applicables à plusieurs objets (tout comme les règles d'usage d'un instrument de musique nous permettent de jouer tous les morceaux possibles et pas un seul). L'ensemble de ces règles se nomme la Logique (de logos : raison en grec). On peut la définir comme "la science qui enseigne les règles et les conditions nécessaires pour raisonner juste" ou encore comme la science des lois de la raison, et l'art de les appliquer correctement à la recherche et à la démonstration de la vérité.
 
 Si la science en général a trait à la recherche de la vérité, la logique a donc peut-être plus que les autres sciences un rapport avec cette dernière. Car comme l'écrit Quine :
 
"Comme toute science, la logique a pour but la poursuite de la vérité. Ce qui est vrai, ce sont certains énoncés ; et la poursuite de la vérité, c'est l'effort pour séparer les énoncés vrais des autres, ceux qui sont faux"[20].
 
 Cependant, il n'est pas nécessaire d'apprendre la logique pour la connaître : "les lois de la logique ne sont que les règles du bon sens mises en ordre et par écrit", disait Leibniz. Cette mise en ordre est toutefois nécessaire pour éviter les erreurs et écarter les faux raisonnements ayant l'apparence du vrai (sophismes et paralogismes[21]). Ces lois indiquent à quelles conditions l'activité de la raison (le raisonnement) est valable. Autrement dit : à quelles conditions nous pouvons valablement passer d'une proposition tenue pour vraie à une autre proposition également vraie. À quelles conditions nous pouvons enchaîner des propositions afin de construire un raisonnement. La logique énonce donc une norme.
 
Remarque : La raison peut alors être définie commela faculté que tout homme possède de penser logiquement, de percevoir le rapport des choses et l'ordre qui en dérive, et par suite, de distinguer le vrai du faux.
 
 Traditionnellement, on considère que c'est Aristote qui a fondé la logique. En effet, c'est lui qui le premier a cherché à théoriser précisément les règles qui permettent de tirer des conclusions valides d'un raisonnement. Ce faisant, il a notamment montré que la logique repose sur au moins trois grands principes, sans lesquels il est impossible de "penser logiquement"[22].
 
1.      Les principes de la logique aristotélicienne :
 
1.      Le principe d'identité :
t
 Il peut être formulé par "A=A" et traduit de multiples façons : "un chat est un chat", "un triangle est un triangle". Cette apparente lapalissade cache une exigence première : être en accord avec soi-même. En effet, le principe d'identité impose une règle à tout discours qui se veut cohérent : les mots doivent conserver le même sens d'un bout à l'autre du discours dans lequel ils sont employés.
 
2.      Le principe de non-contradiction :
 
 Il découle du premier et le complète puisque suivant ce principe, comme dit Aristote, "il est impossible que le même attribut appartienne et n'appartienne pas en même temps, au même sujet et sous le même rapport[23]". Ainsi on ne peut pas dire "cette porte est ouverte et elle est fermée", "ce nombre est pair et il est impair". Il devient ainsi possible de définir la contradiction comme l'exclusion réciproque de deux propositions qui ne peuvent pas être vraies toutes les deux en même temps. Encore faut-il être précis : il n'y a contradiction que si deux propositions s'opposent sur un même sujet, en même temps eu égard à une même relation. Dans la phrase "Paul est grand par rapport à Pierre, mais petit par rapport à Jacques", il n'y a aucune contradiction.
 
 On ne peut donc pas affirmer comme le fait Jean-Claude Van Damme, que :
 
« En vérité, la vérité, il n'y a pas de vérité ! »
 
Car affirmer comme vérité qu'il n'y a pas de vérité, c'est manifestement violer le principe de non-contradiction.
 
3.      Le principe du tiers exclu :
 
 Il stipule que deux propositions contradictoires ne peuvent être vraies ou fausses en même temps. On ne peut pas dire "cette porte n'est pas ouverte, et elle n'est pas non plus fermée". S'il n'est pas vrai qu'elle est ouverte, alors on peut en conclure qu'il est vrai qu'elle est fermée. Nous sommes devant une alternative : si l'une est fausse, l'autre est nécessairement vraie : une troisième possibilité (le tiers) n'existe pas (est exclu).
Ce principe du tiers exclu trouve une application notamment dans le raisonnement par l'absurde, procédure par laquelle on prouve la fausseté d'une proposition d'abord en feignant d'en admettre la validité, puis en tirant des conséquences qui, si elles sont contradictoires entre elles, révèlent l'erreur de la proposition initiale.
Ex. : démontrer que est un nombre irrationnel.
 
 Ces trois grands principes sont au fondement de la logique classique et paraissent aller de soi. Cependant, la logique moderne a montré qu'ils pouvaient faire naître des paradoxes, ce qui a contraint à construire une nouvelle logique (ou du moins à compléter l'ancienne logique). Cf. infra, le texte de Hans Reichenbach. Certaines logiques ont même été construites sur des fondements qui rejettent un ou plusieurs de ces principes (cf. le principe du tiers exclu en logique intuitionniste, infra).
Cependant, aucune logique ne peut se passer du principe d'identité.
 
 Pour Aristote en tout cas, de ces principes, on peut tirer des éléments de logique. En premier lieu, un énoncé est conçu comme une prédication, c'est-à-dire un jugement qui lie une qualité, ou attribut ou prédicat (bleu), à une chose quelconque, ou sujet (le ciel), grâce au verbe "être", ou copule (le ciel est bleu). Un jugement peut être universel s'il vaut pour la totalité du sujet désigné (tous les hommes sont mortels), particulier s'il n'en concerne qu'une partie (certains hommes sont grecs), affirmatif s'il pose le lien de l'attribut au sujet, négatif s'il la refuse.
 
Il existe donc 4 types de proposition :
 
-         A : proposition universelle affirmative (Ex. : Tous les corbeaux sont noirs)
-         E : proposition universelle négative (Ex. : Aucun corbeau n'est noir)
-         I : proposition particulière affirmative (Ex. : Certains corbeaux sont noirs)
-         O : proposition particulière négative (Ex. : Certains corbeaux ne sont pas noirs).
 
Repères : Universel / Général / Particulier / Singulier
Une proposition est universelle quand elle vaut pour absolument tous les individus d'une classe considérée (Ex. : tous les hommes sont mortels, la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits). Alors qu'une proposition générale peut admettre des exceptions, parce qu'elle est le fait d'une généralisation empirique qui peut toujours être démentie, la proposition universelle exclut tout exception.
Une proposition est particulière quand elle concerne une partie déterminée d'une classe (Ex. : certains hommes sont chauves), singulière quand la proposition s'applique à un sujet unique (Socrate est mortel).
 
En combinant ces paramètres on peut définir des règles de déduction si l'on tire un énoncé particulier d'un autre universel, ou des règles d'induction si l'on élève un énoncé particulier à la généralité, comme, par exemple, lorsque ayant constaté de nombreuse fois que les cygnes sont blancs, on en tire la conclusion que tous les cygnes sont blancs. Mais ce passage d'une proposition à une autre ne peut se faire n'importe comment : il doit être nécessaire. D'où l'importance de la médiation qui lie une affirmation de départ à la conclusion qu'on en tire.
 
Repères : Contingent/Nécessaire/Possible/Impossible
Contingent : Non nécessaire. Est contingent ce qui pourrait être différent, ce qui, dit Aristote, pourrait être ou ne pas être sous quelque rapport que ce soit. Est contingent ce qui peut ne pas être.
Quelque chose est contingent quand son contraire est possible.
Nécessaire : Caractère de ce qui ne peut pas être autrement. Ce dont le contraire est impossible. Est nécessaire ce qui ne peut pas ne pas être.
On distingue la nécessité logique (ce qui découle des seules règles du raisonnement valide), et la nécessité physique (ce qui découle d'une loi de la nature dûment vérifiée expérimentalement).
Possible : C'est ce qui peut être. Est possible logiquement : ce qui n'implique pas de contradiction, donc est compatible avec les règles de la logique ; objectivement: ce qui n'est pas en contradiction avec les lois naturelles.
Impossible : Ce qui ne peut pas être.
Remarquons que le possible sert à définir le nécessaire (ce dont le contraire est impossible) et le contingent (ce dont le contraire est possible)
 
 Cette disposition des termes (sujet, copule, attribut) et des propositions (universelle, affirmative, etc.) en ordre nécessaire s'appelle le syllogisme qui est un raisonnement déductif. Aristote le définit ainsi :
 
"Le syllogisme est un discours dans lequel, certaines choses étant posées, quelque chose d'autre que ces données en résulte nécessairement par le seul fait de ces données. Par le seul fait de ces données : je veux dire que c'est par elles que la conséquence est obtenue ; à son tour, l'expression c'est par elles que la conséquence est obtenue signifie qu'aucun terme étranger n'est en plus requis pour produire la conséquence nécessaire."
 
 
Le syllogisme articule deux prémisses à une conclusion. La première prémisse est la proposition majeure qui relie un terme dit majeur, parce qu'il est le plus grand, avec un terme dit moyen, de moindre quantité ; la seconde prémisse est la mineure qui relie un terme dit mineur, parce qu'il est de moindre quantité, au même moyen terme. La conclusion consiste à établir un lien nécessaire entre le terme majeur et le terme mineur.
 
→ cf. exercice de logique
 
Exemple 1 :
 
"Tout homme est mortel" : majeure, universelle (tout) affirmative (est), avec pour terme majeur "mortel" et pour moyen terme "homme".
"Or Socrate est un homme" : mineure, singulière (l'individu Socrate) affirmative (est), avec pour terme mineur "Socrate" et pour moyen terme "homme".
"Donc Socrate est mortel" : conclusion, singulière (l'individu Socrate) affirmative (est), avec le terme mineur "Socrate" inclus dans le terme majeur "homme".
 
Exemple 2 :
 
 Supposons qu'un ami vous tienne le raisonnement suivant : "Tous les hommes sont mortels, or je suis mortel, donc je suis un homme". Que lui répondrez-vous ? Qu'il se trompe ? Oui et non. Aucune de ces trois assertions n'est fausse car chacune est conforme à la réalité (vérité matérielle). C'est leur enchaînement qui n'est pas correct : la forme générale du raisonnement, indépendamment de son contenu, ne respecte pas les règles de la logique (vérité formelle). De ce que tous les hommes sont mortels, on ne saurait en effet tirer valablement que tous les êtres mortels sont des hommes. Même si c'était vrai, l'opération par laquelle on passe de la première à la seconde proposition (inférence) ne serait pas légitime. Le contenu des propositions n'est pas en cause : il s'agit d'une règle formelle.
 Pour mieux le montrer, on peut remplacer les termes de ce raisonnement par des lettres. Nous obtenons : de ce que tous les X sont P, on ne peut déduire que tous les P sont X. Pourquoi ? Parce que dans la première proposition la classe X est prise dans sa totalité, tandis que celle des P est prise seulement en partie. Il reste donc possible qu'une partie des P ne soit pas X. La proposition "Tout X est P" est donc équivalente à "Quelque P est X". Ce raisonnement n'est donc pas valable pour la raison suivante : une proposition universelle affirmative (tout X est P) se convertit en particulière affirmative (quelque P est X).
 Le rôle de la science logique est ainsi de poser les lois permettant de juger si une inférence est valide (pour tous les types de propositions, qu'elles soient affirmatives, négatives, universelles, particulières, contingentes, nécessaires, etc.), et de signaler les erreurs de raisonnement les plus courantes. Pour plus d'efficacité, les logiciens modernes ont adopté un langage entièrement symbolique, n'utilisant pas de termes courants (au langage ordinaire est substitué un langage artificiel). L'inférence "si l'existence de p implique celle de q et si q n'existe pas, alors p n'existe pas" s'écrira de la manière suivante : (p → q & ~q) → ~p. Le but est de parvenir à une sorte d'algèbre logique, qui permette de réduire le raisonnement à une suite d'opérations simples, c'est-à-dire à un calcul, effectuable par une machine, dans laquelle on n'aurait plus qu'à faire entrer les variables.
 
 
→ Cf. texte Robert Blanché, Introduction à la logique contemporaine
 
Sur la distinction entre la forme d'un raisonnement et la matière d'un raisonnement
 
 Kant distingue nettement deux types de vérité dans la connaissance : la vérité formelle, et la vérité matérielle. La vérité formelle, c'est "l'accord d'une connaissance avec les lois universelles de l'entendement et de la raison[25]", c'est-à-dire l'accord de la pensée avec elle-même, sa cohérence intrinsèque. Cette exigence est souveraine et préalable. "Aucune connaissance ne peut être en contradiction avec cette logique sans perdre aussitôt son contenu, c'est-à-dire son rapport à quelque objet, par conséquent, toute vérité[26]".
 On dira que la vérité formelle est une condition nécessaire mais non suffisante de la vérité matérielle. Nécessaire, car certes une pensée contradictoire n’exprimerait aucun état possible du réel, et ne saurait donc lui correspondre (par exemple, une phrase syntaxiquement mal construite n’est ni vraie ni fausse…). Mais pas suffisante, car une pensée sans contradiction interne peut tout aussi bien ne correspondre à rien ou contredire la réalité. En plus de sa cohérence formelle, une vérité portant sur ce qui existe suppose donc d’être vérifiée par l'expérience. Est vraie la pensée qui dit ce qui est comme cela est.
 
Vérités formelles
(ou vérités logiques, ou de raison)
Vérités matérielles
(ou vérités empiriques, ou de fait)
Elles sont vraies en vertu de leur seule forme logique.
Pour Leibniz, elles sont nécessaires.
Elles impliquent l'adéquation ou la correspondance entre la pensée et ce qui est, entre l’idée et la chose (→ nécessité de recourir à l'expérience)
Pour Leibniz, elles sont contingentes.
 
2. Le formalisme logique
 
 Parce que seule la forme du raisonnement compte, et que l'utilisation dans les raisonnements du langage courant mène à des ambiguïtés, des confusions, etc. les logiciens se sont efforcés de formaliser la logique. C'était déjà le cas d'Aristote, mais cet effort a vu son complet développement surtout au XIXe et au XXe siècle.
 
 Comme nous l'avons déjà évoqué plus haut, on insiste souvent, pour justifier la construction d'un langage artificiel pour l'étude de la logique, sur l'ambiguïté, dans les langues naturelles, de certains mots essentiels destinés à représenter les connexions logiques : de là l'introduction de symboles spéciaux, au sens défini sans équivoque, pour remplacer des locutions et des tournures dont les rôles sont difficiles à cerner avec exactitude. Cette ambiguïté proprement sémantique n'est cependant pas le seul motif qui conduit à la construction d'un langage artificiel : pensons aux "ambiguïtés de groupement" que peut présenter un énoncé complexe, comme :
 
Si Dieu n'existe pas, tout est permis, mais l'homme est la mesure de toute chose
 
Et que penser de cette phrase (qui peut prendre deux sens) :
 
Paul aime sa femme, Thomas aussi.
 
 Plus généralement, l'intérêt de la formalisation pourra être éclairé par les remarques suivantes :
 
D'une part, toute recherche logique introduit une certaine "stylisation" des formes grammaticale variées du langage ordinaire, sous peine de devoir multiplier à l'excès les formes de raisonnement admises comme valides. On dira par exemple que les énoncés :
 
Il pleut ou il ne pleut pas.
Un livre contient toujours une erreur ou certains livres ne contiennent pas d'erreur.
Ou l'intelligence divine pense, ou elle ne pense rien.
 
Sont des instances de la forme d'énoncé :
P ou non P
Bien que ce ne soit pas exactement le cas.
 
D'autre part, il y a des cas où l'on peut estimer à bon droit que la ressemblance grammaticale est logiquement trompeuse : d'où l'intérêt de disposer d'un langage artificiel où des constructions différentes manifesteront explicitement la différence logique.
Considérons deux exemples :
 
(1)   J'ai vu un portrait de Charlotte Corday ; Charlotte Corday est l'assassin de Marat ; donc j'ai vu un portrait de l'assassin de Marat.
(2)   J'ai vu un portrait de quelqu'un ; quelqu'un est l'inventeur de la bicyclette ; donc j'ai vu un portrait de l'inventeur de la bicyclette.
 
Malgré la ressemblance de forme, l'argument (1) est correct (logiquement valide), alors que (2) bien sûr ne l'est pas. Certes, un instant de réflexion dissipera l'erreur éventuelle dans ce cas simple, mais il est désirable de disposer de constructions telles qu'elles nous dispensent de faire appel à chaque instant à l'intuition (qui au reste ne nous serait d'aucun secours dans des situations plus complexes). Pour déduire une conclusion de prémisses (ou pour vérifier qu'une conclusion présentée comme telle est bien déductible de prémisses données), nous n'aurons pas à réfléchir au sens des énoncés, mais seulement à appliquer des règles de transformation explicitement formulées, et en nombre relativement restreint, à des expressions construites selon des procédés uniformes et réguliers, la pauvreté des constructions admises selon les règles de formation rendant possible la restriction du nombre de règles de transformation.
 
Une fois le langage logique entièrement formalisé,
 
"La mathématique est une science où l'on ne sait jamais de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai."
 
 
La formalisation de la logique a conduit à distinguer plusieurs niveaux logiques :
-         le calcul des propositions
-         le calcul des prédicats
-         le calcul des relations
 
1.      Le calcul des propositions
 
Le calcul des propositions a pour objet l'étude des relations logiques entre propositions : il fournit des règles d'inférence permettant d'enchaîner des propositions pour produire des raisonnements valides. Ce faisant, il régit l'usage rationnel du discours.
 
Les principaux symboles du langage des propositions sont :
 
( , ), = parenthèses (séparateurs)
: non
^ : et
v : ou
→ : si… alors (implique)
↔ : si et seulement si (équivaut à)
 
Les deux premiers étant appelés respectivement parenthèse ouvrante et parenthèse fermante, et les autres connecteurs ou foncteurs logiques.
A cela vient s'ajouter une liste infinie de symboles d'énoncés ou atomes (appelées aussi lettres de proposition en calcul des propositions, valeurs ou variables d'individu en calcul des prédicats) : p q r s p1 q1 s2
 
Grâce à ce langage logique, on peut traduire des raisonnements du langage commun comme le syllogisme vu plus haut :
 

Tous les hommes sont mortels
Or, quelques grecs sont des hommes
Donc quelques Grecs sont mortels
 
 
 
Deviendra :
(p ^ q) → r
où p = tous les hommes sont mortels
q = quelques Grecs sont des hommes
r = quelques Grecs sont mortels
Pour savoir si le raisonnement est vrai, on doit évaluer la formule par des procédures logiques. Il faut alors connaître la valeur de chaque proposition = la proposition est-elle vraie ou fausse ?
Ici, si p est vrai et si q est vrai, alors p ^ q est vrai. Et si (p^q) est vrai, et que r est vrai, alors la formule est vraie.
 
2.      Le calcul des prédicats
 
Ce calcul permet de traduire non plus seulement les relations entre propositions mais les propositions elles-mêmes.
Les principaux symboles en sont :
a, b,… = valeurs d'individu
x, y, … = variables d'individu
A, E, I, O, … = qualité d'individu
 
Nous distinguerons d'une part une variable d'individu et d'autre part un prédicat (ou fonction propositionnelle) . Ainsi : "x est un homme" se traduit par : H(x). À ces éléments, il convient d'ajouter les quantificateurs – l'universel, noté (x), traduisant "Tous les" et l'existentiel, noté , traduisant "Quelques" – qui permettent de déterminer des classes d'individus.
 
Notre précédent syllogisme devient ainsi (où : M(x) ≈"x est mortel" et G(x) ≈ "x est Grec").
 
(x)[H(x)→M(x)]


 
 
Ainsi l'énoncé : "Il n'existe qu'un seul pape" s'écrira de la manière suivante (avec P = être pape) :
 
Px v Py → (x = y)
 
3.   Le calcul des relations
 
            Le calcul des relations permet de formaliser les propositions relationnelles et a fortiori de rendre compte d'inférences relationnelles aussi simples que « Si Jean est le père de Paul alors Paul est le fils de Jean ».
 Pour comprendre la spécificité des relations, considérons la phrase « Roméo est amoureux de Juliette ». On peut l'analyser selon le schéma traditionnel sujet/prédicat et obtenir la proposition M(g) où M(x) symbolise la fonction propositionnelle « Être amoureux de Juliette ». Cette stratégie, conforme au dogme traditionnel des relations internes tente de réduire les relations aux prédicats. Il se trouve cependant que le prédicat en question contenant un nom individuel (Juliette) s'avère un prédicat relationnel : il s'agit d'être amoureux de Juliette. On pourra alors traduire cette dimension relationnelle par xAj et notre phrase initiale par rAj. En toute généralité, est en jeu ici une relation xAy signifiant : « x aime y ». On est ainsi passé d'un prédicat signifiant la modification interne d'un individu à une authentique relation externe liant deux individus.
 
3.                                                                        Les limites de la démonstration
 
Tout comme on ne peut pas tout définir, et qu'il existe donc des termes premiers, il est impossible de tout démontrer : il existe ainsi des propositions premières.
 
Les paradoxes logiques
 
 
→ cf. texte de Reichenbach, Introduction à la logistique, trad. H. Savonnet, 1939, Hermann, pp. 53-54.
 
Cf. Le paradoxe de Russell.
 
En logique intuitionniste (laquelle considère qu'il ne suffit pas de démontrer qu'un être mathématique existe, mais qu'il faut aussi en construire un exemple) le principe du tiers-exclu n'est plus valide. Ou plus exactement, il est valide dans certaines circonstances et pas dans d'autres.
Par exemple, l'énoncé "quels que soient les entiers naturels x et y, ou x = y ou x ≠ y", noté , prend bien la forme du tiers exclu et reste vrai : une procédure simple permet de comparer deux entiers et de décider s'ils sont égaux ou non.
 En revanche, dès qu'on passe aux nombres réels, la proposition  n'est plus démontrable. Pour les intuitionnistes en effet, un nombre réel se ramène à un processus de production d'une suite de décimales. Or, pour décider si deux suites de chiffres désignent le même nombre réel ou non, il faudrait être capable de les inspecter à l'infini ; cela interdit toute possibilité de donner une preuve constructive à la proposition précédente.
 
Un exemple mathématique : géométrie euclidienne et géométries non-euclidiennes
 
 Jusqu'au début du XIXe siècle, on pensait que toute région de l'univers obéissait aux lois de la géométrie euclidienne avec la même exactitude qu'ici sur Terre.
 Le travail d'Euclide (323-283, Pythagore 580-504) dans ses Éléments consista à montrer comment les centaines de théorèmes géométriques accumulés au cours des siècles pouvaient être dérivés d'un petit groupe de propositions premières. Parmi elles, on trouvait des truismes apparemment universels, comme les "notions communes" : "le tout est plus grand que la partie" ou "Si à des choses égales, on ajoute des choses égales, les touts seront égaux", et des "demandes" (ou postulats), telles que "Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque", Tous les angles droits sont égaux entre eux".
 La volonté d'Euclide d'asseoir fermement ses fondements sur le sens commun ne prêtait le flanc à la critique que sur deux points : le deuxième et le cinquième postulat.
Deuxième postulat : "Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie".
Cinquième postulat : Par un point situé en dehors d'une droite donnée, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite donnée". (dans la formulation d'Euclide : "Si une droite tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces deux droits, prolongées à l"infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits").
De nombreux mathématiciens répugnaient à se soumettre à ces postulats par un acte de foi ; ces sceptiques réclamaient des preuves de la véracité des postulats, tout en ne doutant pas qu'on finisse un jour par les trouver. Décevant cette attente, ces preuves ne vinrent jamais. Au contraire, en 1824, Farkas Biolay fît la preuve que le postulat des parallèles était bien un postulat et que son appartenance à la géométrie euclidienne impliquait son acceptation, par un acte de foi, comme une vérité évidente d'elle-même. Or, il est possible de changer de postulat.
 
Nouveau postulat : "Par un point situé en dehors d'une droite donnée, il passe une infinité de droites parallèles à la droite donnée".
 
→ si par la simple invention d'un postulat n'ayant pas forcément quelque chose à voir avec la réalité, on peut dériver un système mathématique logiquement valide qui prend ce postulat comme appui, c'est que les mathématiques elles-mêmes sont une invention.
 
-                     La géométrie de Lobatchevski :
 
Cf. nouveau postulat. Un monde dans lequel la description de la réalité se ferait dans les termes de la géométrie de Lobatchevski serait comme la surface de deux trompettes de héraut dont on aurait collé bout à bout les pavillons. Cette surface porte le nom de pseudosphère. Sur un tel monde, les lignes droites sont les lignes qui courent longitudinalement sur la surface en forme de trompette.
 
 
-                     La géométrie de Riemann
 
Deuxième postulat : "Une droite limitée ne peut être étendue indéfiniment pour former une droite de longueur infinie"
Cinquième postulat : "Par un point situé en dehors d'une droite donnée, on ne peut mener aucune parallèle à cette droite donnée".
Le monde de la géométrie riemannienne est comme une sphère, et une ligne droite y est pareille à l'arc d'un grand cercle.
 
À l'inverse, le monde dans lequel la géométrie d'Euclide décrit la réalité peut être assimilé à une surface : le plan ordinaire.
 
 Les mathématiciens ont désormais pris conscience que quelque différents que puissent sembler les uns les autres les trois mondes associés aux trois géométries lorsqu'ils sont observés "à vol d'oiseau", rien ne permet de les distinguer à "saut de puce". En effet, dans une perspective étroite, les trois mondes ont l'apparence de plans. Toutes les géométries, "vues de près", apparaissent donc euclidiennes.
→ c'est une question d'échelle. Notre sens commun dépend de l'échelle où se situe notre existence.
 
 Il existe donc de l'indémontrable (cf. théorème de Gödel selon lequel il y aura toujours des vérités mathématiques dont on ne peut faire la preuve par la logique). Toute axiomatique repose sur des postulats que par définition on demande d'accepter. Mais qu'en est-il de ces postulats ? Plus généralement, quelles sont les bases sur lesquelles se fonde toute connaissance ?
 
Il faut admettre que la démonstration reconduit finalement à des affirmations premières non seulement indémontrées, mais indémontrables, correspondant non pas à des faits sensibles, étant donné la fragilité qui revient par définition aux "informations sensibles", mais à des faits intelligibles. La démonstration apparaît alors "bien fondée", appuyée sur des prémisses qu'on identifie comme des vérités premières – ou comme des dérivées de vérités premières.
 
La nécessité des axiomes est souvent décrite comme une nécessité technique : on n'a ni le temps ni la place de tout démontrer, il est utile de disposer de ces propositions. Mais elle est aussi théorique : on évite grâce aux axiomes une régression à l'infini – et donc une incomplétude – de la chaîne démonstrative. Leur vérité vient compléter la correction logique de la déduction, qui est nécessaire, mais non suffisante.
 
C.     La conception pragmatiste de la vérité
 
 Le pragmatisme est une doctrine qui fonde la vérité, dans l'ordre philosophique, scientifique ou religieux, sur le critère de son "utilité", ou de sa "réussite"[28]. Il considère que toute assertion prétendant à la vérité doit prouver sa validité par ses conséquences pratiques. Dans cette optique, il conteste la méthode du rationalisme idéaliste qui, selon lui, a le tort de refuser le recours à un tel critère d'expérience.
 L'idée que la vérité est utile est bien entendu très ancienne. D'Holbach écrit par exemple :
 
"le mérite de la vérité n'est fondé que sur son utilité réelle et sur l'intérêt du genre humain"
 
 
Mais pour le pragmatisme, il ne s'agit pas simplement d'affirmer qu'il existe une utilité de la vérité, que la vérité est utile parce que vraie. C'est l'utilité qui devient le critère de la vérité ; une idée est vraie parce qu'elle est utile.
 
"Vous pouvez donc [dire de la vérité] soit qu' "elle est utile parce qu'elle est vraie" soit qu' "elle est vraie parce qu'elle est utile."
 
 
 Pour Peirce et pour James (1842-1910), la connaissance n'est pas contemplation, mais action : la vérité ou le contenu d'une idée ne peuvent être déterminés en-soi par le moyen d'une réflexion abstraite ou a priori. Ils ne se laissent saisir qu'au niveau d'une activité dans le monde. Ainsi, deux idées ne sont pas clairement distinctes l'une de l'autre lorsqu'elles ne conduisent pas à des actions distinctes. Pour rendre nos idées claires, il faut donc définir toute idée, toute théorie par ses conséquences expérimentales. Un concept conduit aux choses, aux résultats et c'est l'expérience qui nous renseignera sur le contenu réel de nos concepts.
 Dans le domaine scientifique par exemple, une loi sera vraie si elle réussit, parce qu'elle est utile, avantageuse.
 L'esprit qui domine la philosophie pragmatiste est qu'il faut attacher plus d'importance à la pratique qu'à la théorie, aux conséquences qu'aux principes, et chercher le critère de la vérité dans l'action. Comme l'écrit James :
 
"Posséder des pensées vraies, c'est, à proprement parler, posséder de précieux instruments pour l'action[31]".
 
Une idée est utile parce qu'elle est vraie, et elle est vraie parce qu'elle est utile.
 
 
→ Cf. texte de William James, L'idée de vérité
ou Texte de Bergson, La pensée et le mouvant, Sur le pragmatisme de William James – Vérité et réalité
ou texte de Platon, Ménon, 97 a – 97 c.
 
 Ainsi, pour James, la vérité est une propriété que possèdent certaines de nos idées. Cette propriété consiste en l'accord avec la réalité.James reprend donc ici la définition traditionnelle de la vérité ; la vérité est bien distincte de la réalité, comme il prend soin de le préciser :
 
"Les « faits » en eux-mêmes […] ne sont pas vrais. Ils sont simplement. La vérité est une fonction des croyances qui naissent et meurent à leur propos."
 
 
 Or, nos idées ne sont pas, la plupart du temps, des copies de la réalité, ou des objets (comme c'est le cas pour nos idées sensibles, quand je perçois directement quelque chose. Par exemple, quand je vois la chaise devant moi, je peux dire que j'ai une idée vraie de la chaise, c'est-à-dire qui est en accord avec la réalité : l'idée de la chaise correspond l'objet chaise.), mais des symboles de celle-ci. Que peut-on dès lors signifier l' "accord" d'une idée avec son objet, ou l'accord d'une idée avec la chose ?
 
"Le pragmatisme pose ici la question qui lui est habituelle. « Supposons vraie telle idée ou telle croyance, dit-il, le fait qu'elle soit vraie apportera-t-il un changement palpable, réel à l'existence de quelqu'un ? Qu'éprouverait-on de différent de ce que l'on éprouverait si la croyance était fausse ? Comment la vérité se manifestera-t-elle ? »"
 
Autrement dit, quelle différence pratique y a-t-il entre une idée vraie et une idée fausse ?
→ les conséquences pratiques liées à ces idées doivent différer (c'est-à-dire qu'avoir une idée fausse doit avoir des conséquences différentes par rapport à avoir une idée vraie).
 
 La réponse apportée par James est la suivante :
 
"Les idées vraies sont celles que nous pouvons assimiler, valider, corroborer et vérifier. Les idées fausses sont celles qui ne se prêtent pas à ces opérations."
 
On voit ainsi que la vérité est le résultat d'un processus de vérification (plus précisément, de vérification expérimentale, ou empirique, c'est-à-dire par l'expérience au sens large). Le vrai est ce qui se vérifie : la vérité se confond avec la vérification. Aucune proposition ne comporte en elle une évidence immédiate (on voit donc l'opposition avec Descartes) ; toute affirmation est une hypothèse dont la vérité se découvre par sa mise en usage, et il nous faut hasarder nos jugements avant d'en connaître la valeur. Que la vérité soit le résultat d'un processus implique que la vérité d'une idée n'est pas une propriété inerte, statique, qui serait inhérente à cette idée (cela veut dire qu'une idée n'est pas vraie ou fausse de toute éternité. Ici, il y a opposition avec tous les rationalistes, Descartes ou Leibniz par exemple). La vérité survient à une idée, l'idée devient vraie, elle est rendue vraie par les événements. La validité de l'idée se confond donc avec le processus de sa validation. C'est pourquoi, dit James, avec le pragmatisme, une théorie devient un instrument de recherche au lieu d'en être la cessation.
Mais que veut dire vérification ou validation ?
→ c'est là qu'interviennent les circonstances pratiques.
 
 Être rendue vraie par les événements signifie que les circonstances auront rendu utile l'idée. La vérité d'une idée se confond donc avec son utilité. Comme l'écrit William James :
 
"Vous pouvez en dire par conséquent soit qu' « elle est utile parce qu'elle est vraie » soit qu' « elle est vraie parce qu'elle est utile »."
 
Ou encore :
 
"Vraie est le nom pour n'importe quelle idée qui commence le processus de vérification, utile est le nom pour sa fonction accomplie dans l'expérience."
 
 En somme, le "vrai" consiste simplement dans ce qui est avantageux pour notre pensée. Nos idées vraies nous "adaptent" à la réalité, bien mieux en tout cas que nos idées fausses.
 L'utilité d'une idée peut être de nature intellectuelle ou pratique. Mais au final, tous les processus de vérité doivent conduire à une vérification directe avec l'expérience sensible.
 La vérité doit ainsi nous conduire à un accord, accord entre nos différentes idées, accord entre nos idées et la réalité, pour au final aboutir une forme d'harmonie dans nos idées ou dans notre vie.
 
Voici donc ce qu'exige une théorie vraie :
 
"Nous devons trouver une théorie qui marchera ; et cela signifie quelque chose d'extrêmement difficile ; car notre théorie doit servir de médiateur entre toutes les précédentes vérités et certaines expériences nouvelles. Elle doit déranger le sens commun et les croyances antérieures aussi peu que possible, et elle doit conduire à un terme raisonnable ou autre chose qui puisse être vérifié exactement."
 
 
 La conception pragmatiste est encore plus prégnante dans les sciences appliquées, comme les sciences physiques. Ainsi, Wittgenstein écrit :
 
"Une des choses les plus importantes pour une explication en physique, c'est qu'elle doit marcher, qu'elle doit nous permettre de prévoir avec succès. La physique est liée à l'art de l'ingénieur. Le pont ne doit pas s'effondrer[35]".
 
Remarque : La conception pragmatiste permet de comprendre pourquoi les théories scientifiques peuvent à la fois prétendre à la vérité, et changer malgré tout (par exemple, la théorie de Newton a été considérée comme vraie, c'est-à-dire en accord avec la réalité, jusqu'à la fin du XIXe siècle, pour être remplacée ensuite, notamment par la théorie d'Einstein). Tant qu'une théorie "fonctionne", c'est-à-dire tant qu'elle prédit des résultats que l'on peut vérifier par l'expérience, alors elle est tenue pour vraie. Mais le jour où la théorie ne marche plus, parce qu'elle ne permet pas d'expliquer certains faits ou expériences, alors elle est falsifiée (rendue fausse), et il faut alors en construire une nouvelle qui explique ces faits ou expériences.
 C'est parce que la réalité change que ce que l'on considère comme vrai (= en accord avec cette réalité) change aussi ; ainsi, la réalité d'un astronome grec qui ne pouvait se servir que de ses yeux n'est pas la même que la réalité d'un astronome d'aujourd'hui qui a à sa disposition des télescopes extrêmement puissants, mais aussi des sondes spatiales, des ordinateurs, etc. Cela signifie en fait que nous n'avons jamais accès à la "réalité absolue", c'est-à-dire à la totalité du réel. Nous n'avons accès qu'à une partie du réel, c'est pourquoi ce qui constitue "notre" réalité n'est qu'une réalité relative (notamment à nos moyens de perception), et les vérités qui en découlent sont elles aussi relatives.
 
 
Conclusion
 
 
 Peut-on connaître la vérité ? Si par vérité, on entend "vérité logique", alors on peut répondre "oui". En effet, il suffit pour cela d'utiliser sa raison, et donc de vérifier (par une démonstration) qu'un énoncé logique respecte bien les règles logiques.
Si par vérité, on entend en revanche "vérité empirique", alors les seules vérités que nous puissions connaître sont des vérités relatives. Nous n'aurons en effet jamais accès à la "vérité absolue", celle qui serait en accord avec la totalité du réel, parce que ce dernier nous est inaccessible.
 
 
 Pourquoi préférer la vérité à l'erreur ? Si l'on adopte la conception pragmatiste de la vérité, et il paraît difficile de ne pas la prendre en compte, tant les sciences elles-mêmes s'appuient sur celle-ci, même si c'est sous une autre forme que celle que lui a donnée William James, alors c'est tout simplement parce que la vérité nous aide dans nos entreprises, alors que l'erreur nous empêche de réussir dans ce que nous entreprenons.
 
 
Un exemple de raisonnement inductif : le raisonnement par récurrence.
 
Le raisonnement par récurrence est la version mathématique du raisonnement "de proche en proche". Il s'énonce comme suit :
 
Principe de récurrence : Soient , ,…, … des propriétés mathématiques. On sait que  est vraie. On sait aussi que, pour un n quelconque, si  est vraie alors  est vraie aussi. Alors, toutes les propriétés  sont vraies.
 
Autrement dit, pour démontrer qu’une propriété, dépendant de n, est vraie pour tout entier naturel , il suffit de démontrer que :
 
  1. est vraie
  2. pour tout on a
 
La première propriété s’appelle l’initialisation, et la seconde l’hérédité.
Exemple : Montrons que la somme des n premiers entiers 1 + 2 + ... + n est égale à .
Cette propriété est vraie pour n = 1 puisque .
Soit . Supposons que . Alors :
=
=
La propriété est bien héréditaire.
 
 
Sur l'axiomatique
 
 Une axiomatique est un système qui se construit par les conséquences qu'on tire, en se servant des seules consécutions logiques, de termes ou de propositions explicitement posés comme premiers (axiomes ou postulats). Les questions déterminantes deviennent alors celles qui sont propres à l'organisation d'ensemble du système : est-il "consistant" ? est-il "complet" ? est-il "saturé" ? comporte t-il des axiomes "indépendants " les uns des autres ?
La "consistance" correspond au caractère non contradictoire du système des axiomes. La possible incompatibilité entre deux axiomes est la première menace pour une axiomatique, et cela d'autant plus qu'en l'absence de signification "matérielle", c'est uniquement de sa "forme" qu'une axiomatique tire sa validité. La "complétude" tient à la possibilité de démontrer l'une ou l'autre de toutes les propositions contradictoires qui peuvent être formulées dans des termes du système ; la "saturation", à l'impossibilité d'introduire un nouvel axiome sans engendrer de contradictions. L'indépendance d'un axiome, enfin, signifie la possibilité de le transformer ou de l'abandonner sans rendre contradictoire le système des autres axiomes : le postulat euclidien dit "des parallèles" est de cette nature.
 
En 1931, le théorème de Gödel démontre que tout système d'axiomatisation de l'arithmétique est nécessairement incomplet.

Bibliographie
 
Aristote, La Métaphysique*
 
Robert Blanché, L'axiomatique*, Introduction à la logique contemporaine
Descartes, Le Discours de la Méthode*
Descartes, Méditations métaphysiques*
 
Hegel, La Phénoménologie de l'Esprit
 
Hegel, Science de la Logique
 
Heidegger, Être et Temps
 
Heidegger, Questions I et II
William James, L'Idée de Vérité*
 
Kant, "Sur un prétendu droit de mentir par humanité", in Œuvres philosophiques
 
Platon, Hippias mineur
Platon, La République*
Platon, Le Sophiste*
 
Russell, Signification et vérité
Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus*


[1] Isaac Israël (865-955 environ), Livre des définitions.
[2] Métaphysique, 1051 b.
 
[3] Platon, Théétète, 152 a.
[4] Gorgias, 454 d-e
[5] Gorgias, 454 e
[6] Hubert Grenier dit à ce propos que "La vraisemblance est la tragédie de la vérité".
[7] Principes de la philosophie, Première partie, Article 1.
[8] La science et l'hypothèse, Introduction, p. 24
[9] C'est déjà ce que remarque Claude Bernard dans son Introduction à l'étude de la médecine expérimentale, p. 248 : "la première condition pour un expérimentateur, c'est d'avoir confiance dans ses sens et de ne jamais douter que de ses interprétations".
[10] Pensées, Édit. Havet, article VIII.
[11] Pensées, Brunschvicg, 282.
[12] Discours de la méthode, Quatrième partie, p. 129.
[13] Ibid.
[14] Discours de la méthode, Seconde partie.
[15] Principes de la Philosophie, I, article 45.
[16] Éthique, II, proposition 43, scolie.
[17] L'axiome est une proposition évidente par elle-même qui, de ce fait, constitue une vérité première, antérieure à toute démonstration. On l'a longtemps distingué du postulat (du latin postulata = demande), qui est lui aussi une proposition non démontrée mais qui, à la différence de l'axiome, n'est pas nécessairement soutenue par son évidence. Toutefois, du fait des problèmes posés par la notion d'évidence, on ne distingue plus aujourd'hui entre axiome et postulats ; le seul terme "postulat" est plus judicieux, et désigne une proposition première.
[18] Humain, trop humain, p. 42.
[19] De l'esprit géométrique, "Introduction".
[20] Méthodes de logique.
[21] Un paralogisme est un raisonnement faux, fait sans intention d'induire en erreur. À l'inverse, un sophisme est un raisonnement faux lui aussi, mais qui a l'apparence du vrai justement parce que son but est de persuader celui qui l'écoute.
[22] Nous reviendrons sur cette affirmation plus bas.
[23] Métaphysique, 1005 b 20.
[24] Organon, Livre III, « les Premiers analytiques ».
[25] Critique de la raison pure, Introduction à la logique transcendantale, III.
[26] Ibid., IV.
[27] "Mathematics and the Metaphysicians", 1901, in Mysticism and logic, p. 75.
[28] Dans le langage courant, pragmatique signifie qui est fondé sur l'action, la réussite dans l'action. Quelqu'un de pragmatique, c'est quelqu'un qui préfère les actes aux paroles, et qui s'efforce de réussir ce qu'il entreprend.
[29] Essai sur les préjugés, Chapitre VIII, p. 86.
[30] Pragmatism, Lecture VI, p. 98.
[31] Le Pragmatisme, 1894, Flammarion, 1911, p. 195.
[32] Pragmatism, Lecture VI, p. 108.
[33] Schiller, autre philosophe pragmatiste, disait que la vérité est ce qui marche ; Dewey qu'elle était ce qui nous donne satisfaction.
[34] Pragmatism, Lecture VI, p. 104.
[35] Leçons sur l'esthétique, III, 27.

Date de création : 15/06/2012 @ 15:41
Dernière modification : 08/04/2013 @ 15:44
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