"Pour que la géométrie devienne vraiment une science déductive, il faut que la manière dont on tire les conséquences soit partout indépendante du sens des concepts géométriques, comme elle doit l'être des figures ; seuls sont à prendre en considération les rapports posés par les propositions (qui font office de définitions) entre les concepts géométriques. Pendant la déduction il peut être convenable et utile de penser à la signification des concepts géométriques utilisés, mais cela n'est aucunement nécessaire ;si bien que c'est précisément lorsque cela devient nécessaire que se manifestent une lacune dans la déduction et (lorsqu'on ne peut supprimer cette lacune en modifiant le raisonnement) l'insuffisance des propositions invoquées comme moyen de preuve."
Moritz Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie, 1882, p. 98, cite in Robert Blanché, L'axiomatique, PUF Quadrige, 1999, p. 30-31.
"C'est Pasch qui, en 1882, a tenté la première axiomatisation de la géométrie. Si sa solution présente bien des imperfections, dues en partie au fait que l'auteur conserve l'attitude de l'empirisme classique, il a du moins posé clairement le problème. « Pour que la géométrie devienne vraiment une science déductive, il faut que la manière dont on tire les conséquences soit partout indépendante du sens des concepts géométriques, comme elle doit l'être des figures ; seuls sont à prendre en considération les rapports posés par les propositions (qui font office de définitions) entre les concepts géométriques. Pendant la déduction il peut être convenable et utile de penser à la signification des concepts géométriques utilisés, mais cela n'est aucunement nécessaire ;si bien que c'est précisément lorsque cela devient nécessaire que se manifestent une lacune dans la déduction et (lorsqu'on ne peut supprimer cette lacune en modifiant le raisonnement) l'insuffisance des propositions invoquées comme moyen de preuve. »
Voici donc les conditions fondamentales auxquelles, pour être vraiment rigoureux, doit satisfaire un exposé déductif :
1. Que soient énoncés explicitement les termes premiers à l'aide desquels on se propose de définir tous les autres ;
2. Que soient énoncées explicitement les proposition premières à l'aide desquelles on se propose de déterminer toutes les autres ;
3. Que les relations énoncées entre les termes premiers soient de pures relations logiques, et demeurent indépendantes du sens concret qu'on peut donner aux termes ;
4. Que seules ces relations interviennent dans les démonstrations, indépendamment du sens des terme (ce qui interdit, en particulier, de rien emprunter à la considération des figures)."
Robert Blanché, L'axiomatique, PUF Quadrige, 1999, p. 30-31.
[1] Moritz Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie, 1882, p. 98, cite in Robert Blanché, L'axiomatique, PUF, p. 30-31.
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