"- Or il est une chose, repris-je, que tous ceux qui sont tant soit peu versés dans la géométrie ne nous contesteront pas, c'est que cette science a un objet entièrement différent de ce que disent d'elle ceux qui la pratiquent.
- Comment demanda-t-il.
- Ils en parlent en termes ridicules et mesquins ; car c'est toujours en praticiens et en vue de la pratique qu'ils s'expriment, et qu'ils parent de carrer, de construire sur une ligne donnée, d'ajouter et autres termes semblables qu'ils font sonner. Or toute cette science n'est cultivée qu'en vue de la connaissance.
- C'est bien mon avis, dit-il.
- Ne faut-il pas convenir encore de ceci.
- De quoi ? demanda-t-il.
- Qu'on la cultive pour connaître ce qui est toujours, et non ce qui à un moment donné naît et périt.
- Je n'ai pas de peine à en convenir, dit-il ; car la géométrie est la connaissance de ce qui est toujours.
- Elle est donc, mon brave ami, propre à tirer l'âme vers la vérité et à faire naître l'esprit philosophique, qui élève nos regards vers les choses d'en haut, au lieu de les tourner, comme nous faisons, vers les choses d'ici-bas.
- Elle y est particulièrement propre, dit-il.
- Nous mettrons donc toutes nos instances, repris-je, à recommander aux citoyens de notre belle république de ne point négliger la géométrie ; elle a d'ailleurs des avantages accessoires qui ne sont pas à dédaigner.
- Lesquels ? demanda-t-il.
- Ce sont précisément ceux que tu as reconnus toi-même, répondis-je, et qui regardent la guerre ; de plus elle aide mieux comprendre les autres sciences, et nous savons qu'à cet égard il y a une différence du tout au tout entre celui qui a étudié la géométrie et celui qui l'ignore.
- Du tout au tout, c'est vrai, par Zeus, fit-il.
- Voilà donc la seconde science que nous prescrirons la jeunesse.
-Prescrivons-la, dit-il."
Platon, La République, VII, IX.
"De même, en effet, que les propositions universelles, en Mathématiques, ne concernent pas les êtres existant à l'état séparé, à part des grandeurs et des nombres, mais concernent les grandeurs et les nombres, lesquels toutefois ne sont pas pris en tant qu'ayant grandeur ou divisibilité, de même il est évidemment possible qu'il y ait des propositions et des démonstrations au sujet des grandeurs sensibles elles-mêmes, considérées non en tant que sensibles, mais en que possédant telles propriétés définies. En effet, de même qu'il y a beaucoup de propositions portant sur des objets considérés seulement en tant que mus, indépendamment de l'essence propre à chacun des objets de ce genre, et de leurs propriétés, et qu'il n'est pas pour cela nécessaire qu'il y ait quelque mobile séparé du sensible, ou que, dans les choses sensibles, le mouvement soit une nature spéciale séparée du reste : ainsi les objets mus pourront aussi donner lieu à des propositions et à des sciences qui les considèreront non pas en tant que mus, mais seulement en tant que corps ; les corps, à leur tour, seront considérés en tant que surface seulement, en tant que longueurs seulement, ou en tant que divisibles, ou en tant qu'indivisibles mais occupant une position, ou enfin en tant qu'indivisibles seulement.
Par conséquent, étant donné qu'on peut, à la rigueur et en toute vérité, appeler êtres, non seulement les êtres séparés, mais encore les êtres non séparés (comme on dit que les mobiles existent), on peut également, à la rigueur et en toute vérité, accorder l'être aux choses mathématiques, et avec les caractères que leur assignent les mathématiciens. Et de même que l'on peut dire, en toute vérité, des autres sciences, qu'elles traitent, non pas de ce qui est accidentel à leur objet (par exemple, ce ne sera pas le blanc, si le sain est blanc et si la science a le sain pour objet), mais de ce qui, pour chacune d'elles, est son objet même (le sain, si elle considère son objet en tant que sain, l'homme, si c'est en tant qu'homme), ainsi il est vrai de le dire aussi de la Géométrie : s'il arrive aux objets dont elle traite d'être des choses sensibles, elle ne les étudie point cependant en tant que sensibles, et les sciences mathématiques ne seront pas, pour autant, science du sensible ; mais d'autre part, elles ne seront pas non plus sciences d'autres objets séparés du sensible."
Aristote, Métaphysique, livre M, chap. II et III, trad. J. Tricot, Vrin, 1974, p. 724-732.
"C'est avec raison qu'Aristote a dit que la physique et les mathématiques engendrent la pratique ou la mécanique. Ainsi, comme nous avons déjà traité les parties de la science de la nature tant théorique que pratique, c'est ici le lieu de parler des mathématiques, qui sont pour l'une et l'autre une science auxiliaire ; car dans la philosophie reçue on la joint ordinairement à la physique et à la métaphysique, à titre de troisième partie. Quant à nous, qui remanions et révisons tout cela, si notre dessein était de la désigner comme une science substantielle et fondamentale, il serait plus conforme à la nature de la chose même et aux règles d'une distribution bien nette de la constituer comme une partie de la métaphysique ; car la quantité, qui est le sujet propre des mathématiques, appliquée à la matière, étant comme la dose de la nature et servant à rendre raison d'une infinité d'effets dans les choses naturelles, ce serait parmi les formes essentielles qu'il faudrait la ranger. En effet, la puissance de la figure et des nombres a paru si grande aux Anciens que Démocrite a donné le premier rang aux figures des atomes parmi les principes de la variété des choses, et que Pythagore n'a pas craint d'avancer que les nombres étaient les principes constitutifs de la nature. Au reste, il est hors de doute que la quantité est, de toutes les formes naturelles, telles que nous les entendons, la plus abstraite et la plus séparable de la matière, et c'est par cette raison-là même qu'on s'en est tout autrement occupé que des autres formes qui sont plus profondément plongées dans la matière ; car comme, en vertu d'un penchant vraiment inné, l'esprit humain se plaît beaucoup plus dans les choses générales, qu'il regarde comme des champs vastes et libres, que dans les faits particuliers où il se croit enseveli comme dans une forêt et renfermé comme dans un clos, on n'a rien trouvé de plus agréable et de plus commode que les mathématiques pour satisfaire ce désir de se donner carrière et de méditer sans contrainte. Or, quoique dans ce que nous disons ici il n'y ait rien que de vrai, néanmoins à nous, qui n'avons pas simplement en vue l'ordre et la vérité, mais encore l'utilité et l'avantage des hommes, il nous a paru plus convenable, vu la grande influence des mathématiques, soit dans les matières de physique et de métaphysique, soit dans celles de mécanique et de magie, de les désigner comme un appendice de toutes et comme leur troupe auxiliaire. Et c'est à quoi nous sommes en quelque manière forcé par l'engouement et l'esprit dominant des mathématiciens, qui voudraient que cette science commandât presque à la physique ; car je ne sais comment il se fait que la logique et les mathématiques, qui ne devraient être que les servantes de la physique, se targuant toutefois de leur certitude, veulent absolument lui faire la loi."
Francis Bacon, De Dignitate et augmentis, 1605, Liv. III, chap. VI, trad. Buchon, p. 103.
"Toute théorie mathématique est un enchaînement de propositions, se déduisant les unes des autres conformément aux règles d'une logique qui, pour l'essentiel, est codifiée depuis Aristote sous le nom de « logique formelle », convenablement adaptée aux buts du mathématicien. C'est donc un truisme banal de dire que ce « raisonnement déductif » est un principe d'unité pour la mathématique ; mais une remarque aussi superficielle ne peut certainement rendre compte de l'apparente complexité des diverses théories mathématiques, pas plus que l'on ne saurait, par exemple, réunir en une science unique la physique et la biologie, sous le prétexte qu'elles appliquent toutes deux la méthode expérimentale. Le mode de raisonnement par enchaînement de syllogismes n'est qu'un mécanisme transformateur, applicable indifféremment à toutes sortes de prémisses, et qui ne saurait caractériser la nature de celles-ci. En d'autres termes, c'est la forme extérieure que le mathématicien donne à sa pensée, le véhicule qui la rend accessible à d'autres, et, pour tout dire, le langage propre à la mathématique ; mais il n'y faut pas chercher autre chose. Codifier ce langage, en ordonner le vocabulaire et en clarifier la syntaxe, c'est faire œuvre utile, et qui constitue effectivement une face de la méthode axiomatique, celle qu'on peut proprement appeler le formalisme logique (ou, comme on dit aussi, la logistique). Mais – et nous insistons sur ce point – ce n'en est qu'une face, et la moins intéressante.
Ce que propose pour but essentiel l'axiomatique, c'est précisément ce que le formalisme logique, à lui seul, est incapable de fournir, l'intelligibilité profonde des mathématiques. De même que la méthode expérimentale part de la croyance a priori en la permanence des lois naturelles, la méthode axiomatique trouve son point d'appui dans la conviction que, si les mathématiques ne sont pas un enchaînement de syllogismes se déroulant au hasard, elles ne sont pas davantage une collection d'artifices plus ou moins « astucieux », faits de rapprochements fortuits où triomphe la pure habileté technique. Là où l'observateur superficiel ne voit que deux ou plusieurs théories en apparence très distinctes, se prêtant, par l'entremise d'un mathématicien de génie, un "secours inattendu", la méthode axiomatique enseigne à rechercher les raisons profondes de cette découverte, à trouver les idées communes enfouies sous l'appareil extérieur des détails propres à chacune des théories considérées, à dégager ces idées et à les mettre en lumière."
Bourbaki, "L'architecture des mathématiques", 1948, in Les Grands Courants de la pensée mathématique, Blanchard, 1962, p. 36-47.
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